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ワンダーランド パズル遊びへの招待・オンライン版

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1−14.ねずみ算とフィボナッチ数列


 飛躍的に数が増大することを、よく「ねずみ算的に増える」というが、ねずみ算とはどんなものかを知っている人は極めて少ない。吉田光由の著した『塵劫記』(寛永8年版、1631)[1]によれば、ねずみ算は次のような問題になっている。

 正月にねずみの夫婦が現れて、子を12匹生んだ。親とともに14匹になる。2月になると、子どもも成長して親となり、一対で12匹の子を生む。親もまた12匹生むので、親、子、孫の合計は98匹になる。このようにして、月に一度、親も子も孫もひ孫もやしゃ子も12匹ずつ子を生み続けたとすると、12月の間に何匹になるだろうか。

 この答は、なんと276億8257万4402匹になる。途中経過を[2]に表で示した。その計算法であるが、月数をnとすれば、ねずみの総数は2×7nとなる。したがって十二か月では、

2×712=27682574402

となる。ただ、この計算が成り立つためには、生まれた子がおす、めす同数であることが前提である。
 ねずみは早熟多産で、どぶねずみでは一回に1匹から18匹の子を生み、年に10回以上も出産可能であること、子どもも生後3週間で成熟し、妊娠すれば3週間で出産することが、ものの本に出ているので、条件さえよければ、この計算のようなことが、実際に起こり得るわけである。

 ところで西洋でも、1220年ごろのイタリアの数学者フィボナッチが、うさぎ算とでも呼ぶ問題を考えている。

 1対の親うさぎがいた。彼らは月に1回1対の子を生む。子は2か月後には成熟する。1年の終わりには何匹になるだろうか。

 1月は1対である。2月は子を生んで2対になる。3月にはさらに1対の子を生んで3対になる。4月になると、親が子を生むだけでなく、子も成熟して子を生む。そこで5対になる。こうして対の数は、

 1、2、3、5、8、13、21・・・

となる。この数列は、それぞれの項がそれに先立つ2項の和だという特色を持っている。したがって、12月までの計算は容易にできる。たとえば8月は13+21=34として求められる。以下、

9月 21+34=55
10月 34+55=89
11月 55+89=144
12月 89+144=233

となる。こうしたフィボナッチ数列は、自然界のあちこちに見られ、その点でも注目されている。

[1]『塵劫記』ねずみ算

[2]月ごとのねずみの数
生まれた子の数親を含めた総数
正月1214
二月8498
三月588686
四月41164802
五月2881233614
六月201684235298
七月14117881647086
八月988251611529602
九月6917761280707214
十月484243284564950498
十一月33897029883954653486
十二月2372792091627682574402
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第1部:|1.迷路|2.リンドパピルス|3.魔方陣|4.知恵の輪|5.まま子立て|6.渡船|7.油分け算|
|8.盗人隠|9.さっさ立て|10.薬師算|11.碁石拾|12.おしどり|13.一小刀|14.ねずみ算|
|15.知恵板|16.虫食算|17.目付字|18.橋渡り|19.ソリテア|20.ハノイ|21.デュードニー|
|22.サム・ロイド|23.移動板|24.消滅|25.パラドックス|26.四色|27.チェス|28.にせ金|


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