１−１０．薬師算

　碁石を多数用意する。これを相手に渡して、自分が後ろ向きになっている間に、[1]のように好きな大きさの正方形を作ってもらう。次にその一辺だけを残してこれをくずし、その残した一辺に沿って[2]のように石を並べてもらう。その４列目の石の数（図の例だと３個）だけを聞いて石の総数を当てる遊びである。
　相手の言った石の数を nとすれば、石の総数 sは

s ＝ 4n + 12

として求めることができる（ただし s ≧ 12）。この遊びを薬師算と言うのは、定数の12が薬師如来にゆかりの深い数だからである。薬師如来は12の大誓願を立てて仏となり、信者は12神将が守護し、縁日は12日である。
　正方形の一辺を mとすれば、[1]で◎で示した角の石は２つの辺に属してることになるので、石の総数は4m - 4である。したがって一辺 mに沿って並べると、４列目は必ず４個不足する。したがって[2]で見るように nの４倍に４の３倍を加えれば総数が求められる。
　薬師算は吉田光由の著した『塵劫記』の年記のわかっているものでは寛永８年（1631）版に初めて現れる。ただ『塵劫記』には端数のない場合の総数は12または120と書かれているが、120は明らかな誤りで、『勘者御伽双紙』ではそのことを指摘している。

　この薬師算のバリエーションとして、三角の薬師算がある。これは環中仙の『和国知恵較』（1727）[3]に見える。石を正方形に並べる代わりに正三角形に並べて行うもので、３列目の石の数を nとすれば石の総数 sは

s = 3n + 6

で求めることができる（ただし s ≧ 6）。 ところで、なぜか『和国知恵較』も『塵劫記』と同じような間違いを犯している。それは端数のない場合の総数を６または60としていることで、60は誤りで、これも『勘者･･』で指摘されている。
　さらに『勘者･･』には、薬師算、三角の薬師算のほかに五角の薬師算と a角の薬師算の一般解も載せている。原理はすべて同じで、一般に a角形の場合、

s = an + a(a - 1)

となる（ただし s ≧ a(a - 1)）。
　いずれにしても石の数の下限を定数に決めておかないと、答えが複数でる場合がある。『勘者･･』で通常の正方形の薬師算の場合、端数がないときは12個か４個、２の場合は20個か８個であるとしているのは、下限を設けていない場合の数である。中根は一般解を述べた後、用いる石の最低数を定数に決めるのがよいと書いている。

[3]『和国智恵較』より三角の薬師算